UKURAN PUSAT DAN LETAK

 

Salah satu pembahasan dalam statistik adalah mencari suatu angka dimana nilai-nilai dalam suatu distribusi memusat. Angka yang menjadi pusat dari suatu distribusi disebut dengan ukuran gejala pusat. Ukuran gejala pusat merupakan suatu bilangan yang menunjukan sekitar mana bilangan yang ada dalam sekumpulan data tersebar, sehinggga ukuran gejala pusat sering disebut dengan dengan harga rata-rata.Ukuran gejala pusat yang akan dibahas dalam bab ini adalah: Mean (rata-rata hitung), rata-rata ukur, rata-rata harmonik, dan modus. Sementara untuk ukuran letak yang dibahas adalah median, kuartil, desil dan persentil.

Mean atau rata-rata hitung

Istilah mean lazim digunakan dalam statistik, yang dimaksud mean disini adalah rata-rata hitung. Mean atau rata-rata hitung dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data dengan jumlah data. Simbol mean/rata-rata hitung untuk sampel ditulis X̅ (eks garis) sedangkan rata-rata untuk populasi dipakai simbol µ (mu).

Menghitung mean untuk data yang tidak dikelompokan

Jika kita mempunyai data masing-masing nilainya adalah x₁, x₂, x₃ ……x_n maka meannya dapat dirumuskan sebagai berikut: 

Atau bisa disingkat dengan rumus:

Dimana:
x = nilai tiap data dan n = jumlah data
simbol Σ disebut “sigma” (huruf Yunani) yang mempunyai arti jumlah.

Contoh 1 : Mean yang tidak tertimbang

Nilai ujian dari 5 orang mahasiswa yang diambil sebagai sampel dari sebuah populasi adalah 80, 80, 75, 95, 100. Tentukan rata-rata nilai ujian kelima orang mahasiswa tersebut. Dengan mengunakan rumus di atas diperoleh hasil sebagai berikut:

Jadi rata-rata nilai ujian dari kelima mahasiswa tersebut adalah 80.

Contoh 2: Mean yang ditimbang

Mean yang ditimbang adalah mean yang memperhitungkan frekuensi tiap-tiap nilai dari variabel. Di bawah ini disajikan data mengenai besarnya pendapatan dari 40 pedagang.

Dari data di atas rata-ratanya dapat dihitung sebagai berikut:

Menghitung mean untuk data yang dikelompokan

Sejauh ini kita telah membahas bagaimana menghitung mean untuk data yang tidak dikelompokan/berdistribusi tunggal. Permasalahan yang timbul apabila kita mempunyai data yang banyak sehingga bila kita hitung dengan distribusi tunggal tidak efisien dan memakan tempat, untuk itu kita kelompokan data yang ada ke dalam distribusi frekuensi seperti dalam pembahasan distribusi frekuensi.  Pada hakekatnya dalam menghitung mean data yang dikelompokan tidak berbeda dengan data yang tidak dikelompokan, perbedaanya nilai X tidak mewakili individu tetapi titik tengah dari kelas interval. Mean  untuk data yang sudah dikelompokan dalam distribusi frekuensi dapat dicari dengan mengunakan rumus:

Dimana:

f      = Frekuensi tiap kelas interval

x     = Titik tengah tiap kelas interval

Σf   = Banyak data

Contoh :

Kita akan menghitung rata-rata  nilai ujian statistik dari 80 mahasiswa yang sudah dibuat distribusi frekuensinya (Materi sebelumnya). untuk keperluan tersebut kita buat tabel seperti berikut ini:

Dari tabel di atas diperoleh Σ fx = 6070,0 dan Σf = 80 dengan mengunakan rumus di atas rata-rata nilai ujian statistik dari 80 mahasiswa adalah:

6070,0/80 = 75,87

MODUS

Modus digunakan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak ada, ukuran modus disingkat Mo. Untuk keperluan perhitungan kita mengenal dua jenis modus yaitu modus untuk menghitung data yang tidak dikelompokan dan modus untuk menghitung data yang dikelompokan.

Modus untuk data yang tidak dikelompokan

Data yang tidak dikelompokan disebut juga dengan data tunggal, suatu angka atau bilangan yang paling sering terjadi atau suatu nilai frekuensi yang mempunyai frekuensi terbanyak.

Contoh:

Diperoleh data sebagai berikut:

12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14

Dari data tersebut modusnya adalah nilai 34 karena frekuensinya yang terbanyak, yaitu 4. Dalam beberapa hal bisa saja data tidak mempunyai modus karena tidak ada data yang nilainya terbanyak, Jika data telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, maka untuk mencari modus dapat ditentukan dengan mengunakan rumus sebagai berikut:

Dimana:

b          : batas bawah kelas modal, yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak.

p          : panjang kelas modal

b₁         : frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modal

b₂         : frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sebelum tanda kelas modal

Contoh :

Kita gunakan data distribusi frekuensi nilai ujian statistik dari 80 mahasiswa kemudian kita hitung modusnya.

Nilai	Frekuensi
31 - 40	2
41 - 50	4
51 - 60	6
61 - 70	13
71 - 80	22
81 - 90	18
91 - 100	15
Jumlah	80

Dari data tersebut dapat diketahui:

Kelas modal = kelas kelima (lihat jumlah frekuensi yang paling banyak)

b = 70,5

b1 = 22 – 13 = 9

b2 = 22 - 18 = 4

p = 10

MEDIAN

Median adalah data yang berada ditengah jika banyak data ganjil, apabila jumlah data genap maka untuk mencari median adalah rata-rata dua nilai yang berada ditengah.

Contoh :

Dari pengukuran tinggi badan 9 orang diperoleh data: 155: 170: 152: 167: 179: 166: 159: 160: 172

Sebelum dicari mediannya maka data harus diurutkan dari yang kecil ke yang besar sehingga diperoleh hasil: 152: 155: 159: 160: 166:167: 170: 170: 172 karena datanya ganjil maka median adalah nilai yang berada ditengah yaitu 166

Contoh :

Dari pengukuran tinggi badan 8 orang diperoleh data: 149: 151: 157: 163: 165: 169: 170: 171

Karena jumlah data genap maka untuk mencari mediannya adalah rata-rata nilai yang ditengah, yaitu:

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi mediannya dapat dihitung dengan rumus:

Dimana :

b=batas bawah kelas median ialah kelas dimana median akan terletak

p = panjang kelas median

n = banyak data

F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh:

Kita gunakan data distribusi frekuensi nilai ujian statistik dari 80 mahasiswa kemudian kita hitung mediannya

Nilai	Frekuensi
31 - 40	2
41 - 50	4
51 - 60	6
61 - 70	13
71 - 80	22
81 - 90	18
91 - 100	15
Jumlah	80

Setengah dari seluruh data ada 40, jadi median akan terletak dikelas interval kelima, karena sampai dengan ini jumlah frekuensi sudah lebih dari 40. Dari kelas median ini didapat:

b = 70,5

p = 10

f = 22

adapun F = 2+4+6+13 = 25, sehingga mediannya adalah: